home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Pro One: Differential Equations / Multimedia Differential Equations.ISO / diff / chapter3.2p < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1996-08-13  |  5.4 KB  |  278 lines
  1. à 3.2     Distïct, Real Roots ç ê Characteristic Equation
  2.  
  3. äèèFïd ê general solution ç ê homogeneious, 
  4. èèèèèèèèdifferential equation.
  5.  
  6. â    è The differential equation
  7.  
  8.         y»» - 6y» + 5y = 0
  9.  
  10.     è has ê general solution
  11.  
  12.         C¬e╣ + C½eÉ╣
  13.  
  14. éS    The lïear, second order, constant coefficient, homogenous
  15.     differential equation
  16.  
  17.         ay»» + by» + cy = 0
  18.  
  19.     has solutions ç ê formèe¡╣èwhere m is a solution ç ê 
  20.     CHARACTERISTIC EQUATION
  21.  
  22.         amì + bm + c = 0
  23.  
  24.     When this quadratic equation has two distïct, real roots, ê
  25.     GENERAL SOLUTION is ç ê form
  26.  
  27.         y = C¬e¡╣ + C½eⁿ╣
  28.  
  29.         where m å n are ê distïct real solutions
  30.  
  31.  1    y»»è+è4y»è+è3yè=è0
  32.  
  33.  
  34.     A)    C¬eÅ╣ + C½eÄ╣         B)    C¬e╣ + C½eÄ╣
  35.  
  36.     C)    C¬eú╣ + C½eúÄ╣        D)    C¬eúÅ╣ + C½eúÄ╣
  37.  
  38. ü    Forè
  39.         y»» + 4y» + 3y = 0,
  40.     ê characteristic equation is
  41.          mì + 4m + 3 = 0
  42.     This facërs ïë
  43.         (m + 1)(m + 3) = 0
  44.     The solutions are
  45.         m = -1, -3
  46.     The general solution is
  47.         C¬eú╣ + C½eúÄ╣
  48.  
  49. Ç    C
  50.  
  51.  2    y»» - 2y» - 8y = 0
  52.  
  53.  
  54.     A)    C¬eì╣ + C½eúÅ╣        B)    C¬eúì╣ + C½eúÅ╣
  55.  
  56.     C)    C¬eì╣ + C½eÅ╣        D)    C¬eúì╣ + C½eÅ╣
  57.  
  58. ü    Forè
  59.         y»» - 2y» - 8y = 0,
  60.     ê characteristic equation is
  61.          mì - 2m - 8 = 0
  62.     This facërs ïë
  63.         (m + 2)(m - 4) = 0
  64.     The solutions are
  65.         m = -2, 4
  66.     The general solution is
  67.         C¬eúì╣ + C½eÅ╣
  68.  
  69. Ç    D
  70.  
  71.  3    y»»è-è4yè=è0
  72.  
  73.  
  74.     A)    C¬e╣ + C½eÅ╣        B)    C¬eú╣ + C½eúÅ╣
  75.  
  76.     C)    C¬eúì╣ + C½eì╣        D)    C¬ + C½eÅ╣
  77.  
  78. ü    Forè
  79.         y»»è-è4y = 0,
  80.     ê characteristic equation is
  81.          mì - 4 = 0
  82.     This facërs ïë
  83.         (m + 2)(m - 2) = 0
  84.     The solutions are
  85.         m = -2, 2
  86.     The general solution is
  87.         C¬eúì╣ + C½e║╣
  88.  
  89. Ç     C
  90.  
  91.  4    y»»è-è4y»è=è0
  92.  
  93.  
  94.     A)    C¬e╣ + C½eÅ╣        B)    C¬ + C½eúÅ╣
  95.  
  96.     C)    C¬eúì╣ + C½eì╣        D)    C¬ + C½eÅ╣
  97.  
  98. ü    Forè
  99.         y»»è-è4y» = 0,
  100.     ê characteristic equation is
  101.          mì - 4m = 0
  102.     This facërs ïë
  103.         m(m - 4) = 0
  104.     The solutions are
  105.         m = 0, 4
  106.     The general solution is, as eò = 1,
  107.         C¬ + C½eÅ╣èè 
  108.  
  109. Ç    D
  110.  
  111.  5    2y»» - y» - 6y = 0
  112.  
  113.  
  114.     A)    C¬eÄ╣»ì + C½eì╣        B)    C¬eúÄ╣»ì + C½eì╣
  115.  
  116.     B)    C¬eÄ╣»ì + C½eúì╣    D)    C¬eúÄ╣»ì + C½eúì╣
  117.  
  118. ü    Forè
  119.         2y»»è-èy»è-è6yè=è0,
  120.     ê characteristic equation is
  121.          2mì - m - 6 = 0
  122.     This facërs ïë
  123.         (2m + 3)(m - 2) = 0
  124.     The solutions are
  125.         m = -3/2, 2
  126.     The general solution is
  127.         C¬eúÄ╣»ì + C½eì╣èè 
  128.  
  129. Ç    B
  130.  
  131.  6    y»» - 4y» + 2y = 0
  132.  
  133.     A)è C¬eÑìóáìª╣ + C½eÑìúáìª╣    B)è C¬eÑúìóáìª╣ + C½eÑúìúáìª╣
  134.  
  135.     C)è C¬eúÅ╣ + C½eì╣         D)è C¬eÅ╣ + C½eúì╣ 
  136.  
  137. ü    Forè
  138.         y»» - 4y» + 2y = 0,
  139.     ê characteristic equation is
  140.          mì - 4m + 2 = 0
  141.     This does NOT facër å ê quadratic formula must be used
  142.          4 ± √[(-4)ì - 4(1)(2)]
  143.     èèm = ────────────────────────
  144.             è 2(1)
  145.          4 ± √[16 - 8]
  146.     èèè= ───────────────
  147.             2
  148.  
  149.     èèè= [4 ± √8] / 2
  150.  
  151.     èèè= 2 ± √2èare ê solutions
  152.  
  153.     The general solution is
  154.         C¬eÑìóáìª╣ + C½eÑìúáìª╣        
  155.  
  156. Ç    A
  157.  
  158. äèèSolve ê followïg ïitial value problem.
  159.  
  160. â    èFor ê ïitial value problem
  161.         y»» + 5y» + 6y = 0è y(0) = 3 ;èy»(0) = -2
  162.     The general solution is
  163.         y = C¬eúÄ╣ + C½eúì╣
  164.     Substitutïg x = 0 ïë ê solution å its derivative yields
  165.         C¬ = -4 ; C½ = 7
  166.     Thus ê solution ë ê ïitial value problem is
  167.         y = -4eúÄ╣ + 7eúì╣
  168.  
  169. éS    èTo solve an Initial Value Problem 
  170.         ay»» + by» + cy = 0è 
  171.         y(x╠) = y╠ ; y»(x╠) = y»╠    
  172.     has two stages.
  173.     1)    Fïd a general solution ç ê differential equation.
  174.         As this is a second order, differential equation,
  175.         ê general solution will have TWO ARBITRARY CONSTANTS
  176.     2)    Substitute ê INITIAL VALUE ç ê ïdependent
  177.         variable ïë ê general solution å its deriviative
  178.         å set êm equal ë ê TWO INITIAL CONDITIONS.èThis
  179.         produces two lïear equations ï two unknowns (ê
  180.         arbitrary constants).èSolvïg this system yields ê
  181.         value ç ê constants å ê solution ç ê ïitial
  182.         value problem.
  183.  
  184.  7    y»» - 4y» + 3y = 0èè
  185.         y(0) = 2è;èy»(0) = 0
  186.  
  187.  
  188.     A)    2e╣            B)    2eÄ╣
  189.  
  190.     C)    3eú╣ - eúÄ╣        D)    3e╣ - eÄ╣
  191.  
  192. üèè For ê ïitial value problem
  193.         y»» - 4y» + 3y = 0è 
  194.         y(0) = 2 ;èy»(0) = 0
  195.     The characteristic equation is
  196.         mì - 4m + 3 = 0
  197.     This facërs ë
  198.         (m - 1)(m - 3) = 0
  199.     The solutions are
  200.         m = 1, 3
  201.     The general solution is
  202.         y = C¬e╣ + C½eÄ╣
  203.     Substitutïg x = 0 ïë ê solution å its derivative yields
  204.         y(0)è=èC¬ +èC½ = 2
  205.         y»(0) =èC¬ + 3C½ = 0
  206.     Solvïg this system yields
  207.         C¬ = 3 ; C½ = -1
  208.     Thus ê solution ë ê ïitial value problem is
  209.         y = 3e╣ - eÄ╣
  210.  
  211. Ç    D
  212.  
  213.  8    6y»» - 7y» - 3y = 0è 
  214.         y(0) = -1è;èy»(0) = 4
  215.  
  216.  
  217.     A)è    -3eú╣»Ä + 2eÄ╣»ì    B)è    2eú╣»Ä - 3eÄ╣»ì
  218.  
  219.     C)è    -3e╣»Ä = 2eúÄ╣»ì    D)è    2e╣»Ä - 3eúÄ╣»ì
  220.  
  221. üèè For ê ïitial value problem
  222.         6y»» - 7y» - 3y = 0è 
  223.         y(0) = -1 ;èy»(0) = 4
  224.     The characteristic equation is
  225.         6mì - 7m - 3 = 0
  226.     This facërs ë
  227.         (3m + 1)(2m - 3) = 0
  228.     The solutions are
  229.         m = -1/3, 3/2
  230.     The general solution is
  231.         y = C¬eú╣»Ä + C½eÄ╣»ì
  232.     Substitutïg x = 0 ïë ê solution å its derivative yields
  233.         y(0)è=è C¬è +èC½è = -1
  234.         y»(0) =è-C¬/3 + 3C½/2 =è4
  235.     Solvïg this system yields
  236.         C¬ = -3 ; C½ = 2
  237.     Thus ê solution ë ê ïitial value problem is
  238.         y = -3eú╣»Ä + 2eÄ╣»ì
  239.  
  240. Ç     A
  241.  
  242.  9    y»» - y = 0èè
  243.         y(2) = 3 ;èy»(2) = -2
  244.  
  245.  
  246.     A)è5/2 eúìeú╣ + 1/2 e║e╣    B)è1/2 eúìeú╣ - 5/2 eìe╣
  247.  
  248.     C)è5/2 eìeú╣ + 1/2 eú║e╣    D)è1/2 eìeú╣ - 5/2 eúìe╣
  249.  
  250.  
  251. üèè For ê ïitial value problem
  252.         y»» - y = 0è 
  253.         y(2) = 3 ;èy»(2) = -2
  254.     The characteristic equation is
  255.         mì - 1 = 0
  256.     This facërs ë
  257.         (m + 1)(m - 1) = 0
  258.     The solutions are
  259.         m = -1, 1
  260.     The general solution is
  261.         y = C¬eú╣ + C½e╣
  262.     Substitutïg x = 2 ïë ê solution å its derivative 
  263.     yields messier equations than previously but ê technique
  264.     will be ê same
  265.         y(2)è=è C¬eúì + C½eìè=è3
  266.         y»(2) =è-C¬eúì + C½eìè= -2
  267.     Solvïg this system yields
  268.         C¬ = 5/2 eìè;èC½ = 1/2 eúì
  269.     Thus ê solution ë ê ïitial value problem is
  270.         y = 5/2 eìeú╣ + 1/2 eúìe╣
  271.  
  272. Ç C
  273.  
  274.  
  275.  
  276.  
  277.  
  278.